Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)．

(1)討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；

(2)若函數(shù)在處取得極值，對,恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

(3)當(dāng)且時，試比較的大�。�

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù) 在單調(diào)遞減，∴在上沒有極值點；當(dāng)時，得，得，

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．

∴當(dāng)時在上沒有極值點，

當(dāng)時，在上有一個極值點．

(Ⅱ) ．

(Ⅲ)當(dāng)時，>，即．

當(dāng)時，∴，

當(dāng)時，∴  。

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用，求解函數(shù)的 極值問題，以及函數(shù)的極值與不等式的綜合運用和不等式的大小的比較。

（1）因為函數(shù)．，然后求解定義域和導(dǎo)數(shù)，根據(jù)參數(shù)a的范圍求解函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；

(2)因為函數(shù)在處取得極值，則說明在該點處的導(dǎo)數(shù)值為零，然后分析，對,恒成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，來求解實數(shù)的取值范圍；

(3)當(dāng)且時，要比較的大小，只要構(gòu)造函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)的思想求解得到結(jié)論。

解：(Ⅰ)由已知的定義域為。，

當(dāng)時，在上恒成立，函數(shù) 在單調(diào)遞減，∴在上沒有極值點；

當(dāng)時，得，得，

∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．

∴當(dāng)時在上沒有極值點，

當(dāng)時，在上有一個極值點．                  ········· 5分

(Ⅱ)∵函數(shù)在處取得極值，∴，

∴，                            ········ 7分

令，可得在上遞減，在上遞增，

∴，即．                  ·········· 9分

(Ⅲ)解：令，                        ······· 10分

由(Ⅱ)可知在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減

∴當(dāng)時，>，即．·········· 12分

當(dāng)時，∴，

當(dāng)時，∴                ········· 14分