Question

已知等差數(shù)列{a_n}及等比數(shù)列{b_n}，其中b₁=1，公比q＜0，且數(shù)列{a_n+b_n}的前三項(xiàng)分別為2、1、4．
（Ⅰ）求a_n及q；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和P_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用數(shù)列{a_n+b_n}的前三項(xiàng)分別為2、1、4，建立方程，即可求a_n及q；
（Ⅱ）利用分組求和，即可求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和P_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，首項(xiàng)為a₁，則
∵數(shù)列{a_n+b_n}的前三項(xiàng)分別為2、1、4，
∴a₁+1=2，a₁+d+q=1，a₁+2d+q²=4，
∴a₁=1，q=-1或3，
∵q＜0，
∴q=-1，d=1，
∴a_n=n；
（Ⅱ）等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為

n(n+1)

2

，等比數(shù)列{b_n}}的前n項(xiàng)和為

1-(-1)n

2

，
∴n為偶數(shù)時(shí)，P_n=

n(n+1)

2

；n為奇數(shù)時(shí)，P_n=

n(n+1)

2

+1．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的定義及數(shù)列求和的方法，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬中檔題．