Question

（2012•肇慶二模）如圖，AB是圓柱ABFG的母線，C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱的點(diǎn)，O是圓柱上底面的圓心，BF過O點(diǎn)，DE是過O點(diǎn)的動(dòng)直徑，且AB=2，BF=2AB．
（1）求證：BE⊥平面ACD；
（2）當(dāng)三棱錐D-BCE的體積最大時(shí)，求二面角C-DE-A的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）證明BE⊥平面ACD，關(guān)鍵是證明BE垂直于平面中的兩條相交直線，即證BE⊥AC，而DE是圓柱上底面的直徑，所以BE⊥BD，故可得結(jié)論；
（2）△BDE的面積最大時(shí)，三棱錐的體積也最大，此時(shí)△BDE是等腰直角三角形，從而可知DE⊥平面AOC，連接CO，AO，而有CO⊥DE，AO⊥DE，可得∠AOC是二面角C-DE-A的平面角，進(jìn)而可求二面角C-DE-A的平面角的余弦值．

解答：（1）證明：∵AB是圓柱ABFG的母線，C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱的點(diǎn)，
∴AC垂直圓柱的底面，即AC⊥平面BDF，（1分）
∵BE?平面BDF，∴BE⊥AC（2分）
∵DE是圓柱上底面的直徑，∴BE⊥BD（3分）
∵AC?平面ACD，BD?平面ACD，且AC∩BD=B（4分）
∴BE⊥平面ACD（5分）
（2）解：∵DE是圓O的直徑，
∴∠DBE是直角，DE=BF=2AB=4
設(shè)BD=x，（0＜x＜4），在直角△BDE中，BE=

DE2-BD2

=

16-x2

＞0，（6分）
S△DBE=

1

2

BD•BE=

1

2

x

16-x2

≤

x2+ 16-x2 2

4

=4，（8分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=

16-x2

，即x=2

2

時(shí)“=”成立，（9分）
∵三棱錐D-BCE的體積等于三棱錐C-DBE的體積，而三棱錐C-DBE的高BC=2，
∴△BDE的面積最大時(shí)，三棱錐的體積也最大，
此時(shí)，BD=BE=2

2

，即△BDE是等腰直角三角形                （10分）
∴BO⊥DE
∵AC⊥DE，AC∩BO=O
∴DE⊥平面AOC（11分）
連接CO，AO，而有CO⊥DE，AO⊥DE，∴∠AOC是二面角C-DE-A的平面角       （12分）
在△AOC中，∠AOC=∠BOC+∠AOB
又tan∠BOC=

BC

BO

=

2

2

=1，0＜∠BOC＜

π

2

，∴∠BOC=

π

4

同理可得∠AOB=

π

4

，∴∠AOC=

π

2

（13分）
∴cos∠AOC=cos

π

2

=0，即二面角C-DE-A的平面角的余弦值為0．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，考查三棱錐的體積，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定，正確作出面面角．