Question

12．如圖所示，已知矩形ABCD與ABEF全等，D-AB-E為直二面角，M為AB的中點，FM與BD所成角為θ，且cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，則AB與BC的長度之比為（　　）

• A． 1：1
• B． $\sqrt{2}$：1
• C． $\sqrt{2}$：2
• D． 1：2

Answer 1

分析 以A為原點，AF為x軸，AB為y軸，AD為z軸，建立空間直角坐標系，設AB=2a，BC=2b，利用向量法能求出AB與BC的長度之比．

解答 解：以A為原點，AF為x軸，AB為y軸，AD為z軸，建立空間直角坐標系，
設AB=2a，BC=2b，
則F（2b，0，0），M（0，a，0），B（0，2a，0），D（0，0，2b），
$\overrightarrow{FM}$=（-2b，a，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，-2a，2b），
∵FM與BD所成角為θ，且cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
∴|cos＜$\overrightarrow{FM}，\overrightarrow{BD}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{FM}|•|\overrightarrow{BD}|}$|=|$\frac{-2{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+4^{2}}•\sqrt{4{a}^{2}+4^{2}}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
整理，得5a²b²+4b⁴-26a⁴=0，
∴$4×（\frac{^{2}}{{a}^{2}}）^{2}$+5×$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$-26=0，解得$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=2，或$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=-$\frac{13}{4}$（舍），
∴$a=\sqrt{2}b$，
∴AB與BC的長度之比為：2a：2b=a：b=$\sqrt{2}$：1．
故選：B．

點評 本題考查兩線段長的比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．