Question

一個(gè)口袋中裝有n個(gè)紅球（n≥4且n∈N）和5個(gè)白球，從中摸兩個(gè)球，兩個(gè)球顏色相同則為中獎(jiǎng)．
（Ⅰ）若一次摸兩個(gè)球，試用n表示一次摸球中獎(jiǎng)的概率p；
（Ⅱ）若一次摸一個(gè)球，當(dāng)n=4時(shí)，求二次摸球（每次摸球后不放回）中獎(jiǎng)的概率；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，記三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有二次中獎(jiǎng)的概率為P，當(dāng)n取多少時(shí)，P最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是一次摸獎(jiǎng)從n+5個(gè)球中任選兩個(gè)，滿(mǎn)足條件的事件是兩球不同色有C_n¹C₅¹種，根據(jù)等可能事件的概率得到結(jié)果．
（Ⅱ）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)C₈¹C₉¹，滿(mǎn)足條件的事件是C₄¹C₃¹+C₅¹C₄¹，根據(jù)等可能事件的概率得到結(jié)果．
（III）設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p，則三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回），恰有二次中獎(jiǎng)的概率為P為P=P₃（2）=C₃²•p²•（1-p）=3（p²-p³），當(dāng)p=

2

3

時(shí)，P取得最大值．得到n的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是一次摸獎(jiǎng)從n+5個(gè)球中任選兩個(gè)，有C_n+5²種，
滿(mǎn)足條件的事件是兩球不同色有C_n¹C₅¹種，
根據(jù)等可能事件的概率得到一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率p=1-

10n

(n+5)(n+4)

=

n2-n+20

n2+9n+20

（Ⅱ）若n=4，由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率
試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)C₈¹C₉¹，
滿(mǎn)足條件的事件是C₄¹C₃¹+C₅¹C₄¹
得到二次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后不放回）中獎(jiǎng)的概率是P=

C 1 4 C 1 3 + C 1 5 C 1 4

C 1 9 C 1 8

=

4

9

答：二次摸球（每次摸球后不放回）中獎(jiǎng)的概率為

4

9

．．
（Ⅲ）設(shè)每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率為p，則三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）
恰有二次中獎(jiǎng)的概率為P為P=P₃（2）=C₃²•p²•（1-p）=3（p²-p³），0＜p＜1，．．
當(dāng)p=

2

3

時(shí)，P取得最大值．
又p=1-

10n

(n+5)(n+4)

=

2

3

，解得n=20
答：當(dāng)n=20時(shí)，三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有二次中獎(jiǎng)的概率最大

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，考查等可能事件的概率的應(yīng)用，這種問(wèn)題可以出現(xiàn)在大型考試的解答題目中，是一個(gè)綜合題．