Question

如圖，AC是圓O的直徑，點B在圓O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于點M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．
（1）證明：EM⊥BF；
（2）（文科）求三棱錐E-ABF的體積
（理科）求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）根據線面垂直得到線與線垂直，根據直徑所對的圓周角是直角，得到兩個三角形是等腰直角三角形，有線面垂直得到結果．
（2）（文科）由VE-ABF=VB-AEF=

1

3

MB•S△AEF，求出底面面積和高，代入棱錐體積公式可得答案．
（理科）做出輔助線，延長EF交AC于G，連BG，過C作CH⊥BG，連接FH．，做出∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角．

解答：證明：（1）∵EA⊥面ABC，BM?面ABC，
∴EA⊥MB
∴MB⊥AC，AC∩EA=A，
∴MB⊥面ACEF
∵EM?面ACEF，
∴EM⊥MB
在直角梯形ACEF中，EA=3，FC=1，AC=4
∴EF=2

5

在Rt△ABC中，
∵∠BAC=30°，BM⊥AC
∴AM=3，CM=1
∴EM=3

2

，MF=

2

∵EF²=EM²+MF²
∴EM⊥MF，又MB∩MF=M
∴EM⊥面MBF，
∵BF?面MBF
∴EM⊥BF…（8分）
解：（2）
（文科） 由（1）知，MB⊥面ACFE
∴VE-ABF=VB-AEF=

1

3

MB•S△AEF
在直角梯形ACEF中，
S△AEF=

1

2

AE•AC=6，MB=

3

∴VE-ABF=2

3

…（14分）
（理科）延長EF交AC于H，連結BH
過C做CG⊥BH，垂足G
FC∥EA，EA⊥面ABC
∴FC⊥面ABC，
∵BH?面ABC
∴BH⊥FC，∵FC∩CG=C
∴BH⊥面FCG，∵FG?面FCG
∴BH⊥FG
∴∠CGF為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角
在直角梯形ACEF中，CH=2
在△BCH中，CH=2，BC=2，∠BCH=120°
∴CG=1，
在Rt△CGF中，FC=1
∴∠CGF=45°
平面BEF與平面ABC所成的銳二面角正切值為1…（14分）

點評：本題主要考查空間點、線、面位置關系，二面角等基礎知識，考查應用向量知識解決數學問題的能力，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．