Question

19．如圖，在五面體ABCDEF中，底面ABCD是正方形，△ADE，△BCF都是等邊三角形，EF∥AB，且EF＞AB，M，O分別為EF，BD的中點，連接MO．
（Ⅰ）求證：MO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）若EF=2AB，求二面角E-BD-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：取BC、AD中點G、H，連接EH、FG、HG，推導(dǎo)出EFGH是等腰梯形，BC⊥平面EFGH，由此能證明MO⊥底面ABCD．
法二：連接AC、AM、CM，則O為AC中點，推導(dǎo)出MO⊥AC，MO⊥BD，由此能證明MO⊥底面ABCD．
（Ⅱ）法一：過F作OG延長線的垂線交于N點，連接BN，推導(dǎo)出∠FBN為二面角F-BD-N的平面角，由此能求出二面角E-BD-F的余弦值．
法二：以O(shè)為坐標原點，直線HG、OM分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-BD-F的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）證法一：取BC、AD中點G、H，連接EH、FG、HG，
又因為EF∥AB，所以EF∥平面ABCD，則EF∥HG，
由EH=FG，可知EFGH是等腰梯形，…（2分）  
M和O分別為EF和HG的中點，則MO⊥HG．
因為△ADE，△BCF均為正三角形，
所以EH⊥AD、FG⊥BC、HG⊥BC，
則 BC⊥平面EFGH，…（4分）
MO在平面EFGH內(nèi)，所以BC⊥MO；
又MO⊥HG，HG和BC是底面ABCD上的兩條相交直線，
故MO⊥底面ABCD．…（6分）
證法二：連接AC、AM、CM，則O為AC中點，
因為EF∥AB，所以EF∥平面ABCD，則EF∥CD，
因為△ADE，△BCF均為正三角形，則EA=ED=FB=FC，
可知EFBA和EFCD是全等的等腰梯形，…（2分） 
 因為M為EF中點，則MA=MB=MC=MD．
所以△MAC和△MBD是全等的等腰三角形，…（4分）
所以MO⊥AC，MO⊥BD，
又AC和BD是底面ABCD上的兩條相交直線，
故MO⊥底面ABCD．…（6分）
解：（Ⅱ）方法一：過F作OG延長線的垂線交于N點，連接BN，
因為EF=2AB，所以MF=ON=AB，OG=GN=BG=$\frac{1}{2}$AB，則BO⊥BN，
又FN∥MO，所以FN⊥底面ABCD，則FN⊥BO，所以BO⊥平面BFN，
則BO⊥BF，因此∠FBN為二面角F-BD-N的平面角，…（9分）
設(shè)AB=2a，則EM=MF=ON=2a，
GN=a，GF=$\sqrt{3}a$，則FN=$\sqrt{2}a$，又BN=$\sqrt{2}a$，
所以∠FBN=45°，即二面角F-BD-N為45°，同樣二面角E-BD-A為45°，
因此二面角E-BD-F為90°，則所求余弦值為0．…（12分）
方法二：以O(shè)為坐標原點，直線HG、OM分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標系，
過F作OG延長線的垂線交于N點，連接BN，
因為EF=2AB，設(shè)AB=2a，則EM=MF=ON=2a，GN=a，GF=$\sqrt{3}a$，
則FN=$\sqrt{2}a=OM$，則B（a，a，0），D（-a，-a，0），F(xiàn)（0，2a，$\sqrt{2}a$），E（0，-2a，$\sqrt{2}a$），
設(shè)平面BDE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{DB}$=（2a，2a，0），$\overrightarrow{BE}$=（-a，-3a，$\sqrt{2}a$），$\overrightarrow{BF}$=（-a，a，$\sqrt{2}a$），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2ax+2ay=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-ax-3ay+\sqrt{2}x=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-$\sqrt{2}$），…（9分）
設(shè)平面BDF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2ax+2ay=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-ax+ay+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\sqrt{2}$），
因為$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
所以平面BDE⊥平面BDF，因此二面角E-BD-F為90°，則所求余弦值為0．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．