Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$是奇函數(shù)（a，b，c都是整數(shù)），且f（-1）=-2，f（2）＜3
（1）求a，b，c的值；
（2）試判斷當(dāng)x＜0時(shí)f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論．
（3）若當(dāng)x＜0時(shí)2m-1＞f（x）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（-x）=-f（x）得c=0，利用f（-1）=-2，f（2）＜3，求出a，b的值；
（2）利用單調(diào)性定義證明的步驟，即可證明；
（3）由（2）知當(dāng)x＜0時(shí)f（x）的最大值為f（-1）=-2，故只需2m-1＞-2即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{a{x^2}+1}}{bx+c}$為奇函數(shù)，則有f（-x）=-f（x）得c=0．…（2分）
又f（-1）=-2，f（2）＜3，
∴$\left\{\begin{array}{l}a+1=2b\\ \frac{4a+1}{2b}＜3\end{array}\right.$⇒-1＜a＜2…（3分）
又a∈Z，∴a=0，1．
當(dāng)a=0時(shí)$b=\frac{1}{2}（舍）$，當(dāng)a=1時(shí)b=1…（4分）
綜合得a=1，b=1，c=0…（5分）
（2）設(shè)x₁＜x₂＜0，x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{（{x_2}-{x_1}）（1-{x_1}{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}$，…（7分）
當(dāng)x₁＜x₂≤-1時(shí)，x₁x₂＞1，∴1-x₁x₂＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)； …（9分）
同理可證f（x）在[-1，0）上是減函數(shù)；…（10分）
（3）由（2）知當(dāng)x＜0時(shí)f（x）的最大值為f（-1）=-2，∴只需2m-1＞-2即可，∴$m＞-\frac{1}{2}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．