Question

已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為．

（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為F，過F點(diǎn)的直線交拋物線與A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線交于Q點(diǎn)，且Q點(diǎn)在橢圓上，求面積的最值，并求出取得最值時(shí)的拋物線的方程。

 

Answer 1

【答案】

（I）

（II） 

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及直線與拋物線和橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用。運(yùn)用代數(shù)的手段來求解解析幾何是解析幾何的本質(zhì)。

（1）由題意得結(jié)合性質(zhì)得到參數(shù)a,b的值，從而得到橢圓的方程。

（2）先設(shè)點(diǎn)令   則拋物線在點(diǎn)A處的切線斜率為，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線方程，求解點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示三角形的面積。得到拋物線方程。

（I）由題意得所求的橢圓方程為

（II）令   則拋物線在點(diǎn)A處的切線斜率為

所以切線AQ方程為:

同理可得BQ方程為:

聯(lián)立解得Q點(diǎn)為…………8分

焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(0, ), 令l方程為:  代入：

得:      由韋達(dá)定理有： 所以Q點(diǎn)為 過Q做y軸平行線交AB于M點(diǎn)， 則 

M點(diǎn)為,  ,

 ……..12分

而Q點(diǎn)在橢圓上,