對(duì)正整數(shù)n,記In={1,2,3…,n},Pn={|m∈In,k∈In}.
(1)求集合P7中元素的個(gè)數(shù);
(2)若Pm的子集A中任意兩個(gè)元素之和不是整數(shù)的平方,則稱A為“稀疏集”.求n的最大值,使Pm能分成兩人上不相交的稀疏集的并.
【答案】分析:(1)對(duì)于集合P7 ,有n=7.當(dāng)k=4時(shí),根據(jù)Pn中有3個(gè)數(shù)與In={1,2,3…,n}中的數(shù)重復(fù),由此求得集合P7中元素的個(gè)數(shù).
(2)先用反證法證明證當(dāng)n≥15時(shí),Pn不能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集,再證P14滿足要求,從而求得n的最大值.
解答:解:(1)對(duì)于集合P7 ,有n=7.當(dāng)k=4時(shí),Pn={|m∈In,k∈In}中有3個(gè)數(shù)(1,2,3)與
In={1,2,3…,n}中的數(shù)重復(fù),由此求得
集合P7中元素的個(gè)數(shù)為 7×7-3=46.
(2)先證當(dāng)n≥15時(shí),Pn不能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集.否則,設(shè)A和B為兩個(gè)不相交的稀疏集,使A∪B=Pn?In
不妨設(shè)1∈A,則由于1+3=22,∴3∉A,即3∈B.同理可得,6∈A,10∈B.又推出15∈A,但1+15=42,
這與A為稀疏集相矛盾.
再證P14滿足要求.當(dāng)k=1時(shí),P14={|m∈I14,k∈I14}=I14,可以分成2個(gè)稀疏集的并集.
事實(shí)上,只要取A1={1,2,4,6,9,11,13},B1={3,5,7,8,10,12,14},則A1和B1都是稀疏集,且A1∪B1=I14
當(dāng)k=4時(shí),集合{|m∈I14}中,除整數(shù)外,剩下的數(shù)組成集合{,,,…,},可以分為下列3個(gè)稀疏集的并:
A2={,,},B2={,,}.
當(dāng)k=9時(shí),集合{|m∈I14}中,除整數(shù)外,剩下的數(shù)組成集合{,,,…,,},
可以分為下列3個(gè)稀疏集的并:
A3={,,,,},B3={,,,}.
最后,集合C═{|m∈I14,k∈I14,且k≠1,4,9 }中的數(shù)的分母都是無理數(shù),
它與Pn中的任何其他數(shù)之和都不是整數(shù),
因此,令A(yù)=A1∪A2∪A3∪C,B=B1∪B2∪B3,則A和B是不相交的稀疏集,且A∪B=P14
綜上可得,n的最大值為14.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查新定義,集合間的包含關(guān)系,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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(2013•重慶)對(duì)正整數(shù)n,記In={1,2,3…,n},Pn={
m
k
|m∈In,k∈In}.
(1)求集合P7中元素的個(gè)數(shù);
(2)若Pn的子集A中任意兩個(gè)元素之和不是整數(shù)的平方,則稱A為“稀疏集”.求n的最大值,使Pn能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并.

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