Question

函數(shù)f（x）=

.

2 1 -x 1 x

.

，x∈[1，2]的值域為

 

．

Answer 1

分析：先將原函數(shù)可化為：f（x）=x+

2

x

，利用基本不等式得出當(dāng)x＞0時，函數(shù)的最小值，又f（x）=x+

2

x

在（1，

2

）是減函數(shù)，在（

2

，2）是增函數(shù)，函數(shù)的最大值從而求得函數(shù)的值域．

解答：解：原函數(shù)可化為：
f（x）=x+

2

x

當(dāng)x＞0時，x+

2

x

≥2

x• 2 x

=2

2

當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

時取“=”號
函數(shù)f（x）=

.

2 1 -x 1 x

.

，x∈[1，2]的最小值為：2

2

，
又f（x）=x+

2

x

在（1，

2

）是減函數(shù)，在（

2

，2）是增函數(shù)，
且f（1）=3，f（2）=3，
函數(shù)f（x）=

.

2 1 -x 1 x

.

，x∈[1，2]的最大值為：3，
∴函數(shù)f（x）=

.

2 1 -x 1 x

.

，x∈[1，2]的值域為[2

2

，3]
故答案為：[2

2

，3]．

點評：本題通過構(gòu)造形式用基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，訓(xùn)練學(xué)生答題的觀察、化歸的能力．解答的關(guān)鍵是對常見函數(shù)f（x）=x+

2

x

最值及單調(diào)性的研究．