Question

9．如圖，拋物線(xiàn)C₁：y²=2px（p＞0）和圓C₂：（x-1）²+y²=r²（r＞0），M為圓C₂的圓心，過(guò)拋物線(xiàn)C₁的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)y=k（x-$\frac{p}{2}$）與C₁交于A，B兩點(diǎn)，與圓C₂交與C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在A，B之間）且△AOF的外心到拋物線(xiàn)C₁的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為$\frac{3}{4}$．
（I）求拋物線(xiàn)C的方程
（Ⅱ）若圓C₂：（x-1）²+y²=$\frac{33}{8}$，且|AC|=|BD|，求直線(xiàn)AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線(xiàn)方程求出其準(zhǔn)線(xiàn)方程，結(jié)合△AOF的外心到拋物線(xiàn)C₁的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為$\frac{3}{4}$求得p，則拋物線(xiàn)方程可求；
（Ⅱ）寫(xiě)出過(guò)拋物線(xiàn)C₁的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)y=k（x-$\frac{1}{2}$），由|AC|=|BD|，得|AB|=|CD|，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，求出|AB|，再由直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系求出|CD|，由|AB|=|CD|，得到關(guān)于k的方程，求出k后可得直線(xiàn)方程．

解答 解：（Ⅰ）由拋物線(xiàn)C₁：y²=2px（p＞0），得其準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-$\frac{p}{2}$，
∵△AOF的外心到拋物線(xiàn)C₁的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{p}{4}-（-\frac{p}{2}）=\frac{3p}{4}=\frac{3}{4}$，則p=1．
∴拋物線(xiàn)方程為y²=2x；
（Ⅱ）拋物線(xiàn)方程為y²=2x，圓的方程為（x-1）²+y²=$\frac{33}{8}$，過(guò)拋物線(xiàn)C₁的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)y=k（x-$\frac{1}{2}$），
∵|AC|=|BD|，∴|AB|=|CD|，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{1}{2}）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，可得kx²-$（{k}^{2}+2）x+\frac{1}{4}{k}^{2}=0$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}$，
∴|AB|=${x}_{1}+{x}_{2}+1=\frac{{k}^{2}+2}{{k}^{2}}+1=\frac{2（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$．
又M（1，0），r=$\sqrt{\frac{33}{8}}$．
點(diǎn)M（1，0）到$kx-y-\frac{k}{2}=0$的距離d=$\frac{|k-\frac{k}{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{|k|}{2\sqrt{{k}^{2}+1}}$．
$|CD|=2\sqrt{{r}^{2}-h0m1n5e^{2}}=2\sqrt{\frac{33}{8}-\frac{{k}^{2}}{4（{k}^{2}+1）}}$=$2\sqrt{\frac{31{k}^{2}+33}{8（{k}^{2}+1）}}$．
∵|AB|=|CD|，
∴$\frac{{k}^{2}+1}{{k}^{2}}=\sqrt{\frac{31{k}^{2}+33}{8（{k}^{2}+1）}}$
由觀察法可知：k²=1．∴k=±1．
∴AB：$y=x-\frac{1}{2}$或$y=-x+\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線(xiàn)的應(yīng)用，平面解析式的基礎(chǔ)知識(shí)．考查了考生的基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和知識(shí)遷移的能力，屬于難題．