Question

【題目】如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC，EC⊥CB，已知BC=2AD=2AB=2．

（1）證明：BD⊥平面DEC；
（2）若二面角A﹣ED﹣B的大小為30°，求EC的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥EC，

又∵EC⊥BC，AB∩BC=B，∴EC⊥平面ABCD，

∵BD平面ABCD，∴EC⊥BD，

由題意知在梯形ABCD中，有BD=DC= ，

∴BD2+DC2=BC2，∴BD⊥DC，

又EC∩CD=C，∴BD⊥平面DEC．

（2）解：如圖，以B為原點(diǎn)，在平面BCE中過B作BC的垂線為x軸，

BC為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè) =a＞0，則B（0，0，0），E（a，2，0），A（0，0，1），C（0，2，0），D（0，1，1），

=（0，1，0）， =（﹣a，﹣1，1），

設(shè)面AED的法向量為 =（x，y，z），

則 ，令x=1，得 =（1，0，a），

設(shè)面BED的法向量為 =（x1，y1，z1），

則 ，令x1=2，得 =（2，﹣a，a），

∵二面角A﹣ED﹣B的大小為30°，

∴cos30°= = = ，解得a=1．（a=﹣1，舍），

∴EC=1．

【解析】（1）推導(dǎo)出AB⊥EC，EC⊥BC，從而EC⊥平面ABCD，進(jìn)而EC⊥BD，由勾股定理得BD⊥DC，由此能證明BD⊥平面DEC．（2）以B為原點(diǎn)，在平面BCE中過B作BC的垂線為x軸，BC為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出EC．
【考點(diǎn)精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．