Question

5．下面四個命題：
①已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}\;，x≥0\;\\ \sqrt{-x}\;，x＜0\;\end{array}\right.$且f（a）+f（4）=4，那么a=-4；
②要得到函數(shù)$y=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$的圖象，只要將y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{3}$單位；
③若定義在（-∞，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），則f（x）是周期函數(shù)；
④已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，且f（-1）=0，則不等式f（x）＜0解集{x|x＜-1}．
其中正確的是③．

Answer 1

分析 ①已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}\;，x≥0\;\\ \sqrt{-x}\;，x＜0\;\end{array}\right.$，分a＜0，a＞0，利用f（a）+f（4）=4，即可求出a；
②要得到函數(shù)$y=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$的圖象，只要將y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{6}$單位；
③利用f（x）滿足f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），所以f（x）是以2為周期的周期函數(shù)；④已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，且f（-1）=0，則f（1）=0，在（-∞，0）為增函數(shù)，即可解不等式f（x）＜0．

解答 解：①已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}\;，x≥0\;\\ \sqrt{-x}\;，x＜0\;\end{array}\right.$，a＜0時，f（a）+f（4）=4，那么a=-4；a＞0時，f（a）+f（4）=4，那么a=4，故不正確；
②要得到函數(shù)$y=sin（{2x+\frac{π}{3}}）$的圖象，只要將y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{6}$單位，故不正確；
③若定義在（-∞，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），則f（x+2）=-f（x+1）=f（x），所以f（x）是周期函數(shù)，周期為2；
④已知奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，且f（-1）=0，則f（1）=0，在（-∞，0）為增函數(shù)，不等式f（x）＜0等價于f（x）＜f（-1）或f（x）＜f（1），
解集{x|x＜-1}∪{x|0＜x＜1}，故不正確．
故答案為：③．

點評 本題考查命題的真假的判斷，考查分段函數(shù)，函數(shù)的圖象變換，周期性，奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．