【題目】對(duì)哪些正整數(shù)n,存在正整數(shù) m 及正整數(shù),使得?其中可以相同,且.
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
先設(shè) n ≥12 且n不滿足要求.設(shè) m為偶數(shù),
.
則,且
.
設(shè) l為最小的正整數(shù), 使得.令,其中,t、s為非負(fù)整數(shù),.
由于n不滿足要求 ,故 r 不可表示為不超過(guò) 2l -1個(gè)平方和, 且其中每一個(gè)不超過(guò).從而,s不可表為不超過(guò)個(gè)平方和.
當(dāng) l≥6 時(shí),由,知.因此,t ≤6.
設(shè)為非負(fù)整數(shù),.
由,知.
從而,.
若,則s可表為不超過(guò)4個(gè)平方和,,矛盾;
若,則s可給為不超過(guò)5個(gè)平方和,,矛盾;
若,則,s可給為不超過(guò)個(gè)平方和,矛盾.
因此,l≤5 .
當(dāng)l=5 時(shí) ,
.
設(shè).則.
若 t = 7 ,則由 r ≤112 知 s =0 ,此時(shí),r 可表為7個(gè)42之和, 矛盾 ;
若 t = 6 ,驗(yàn)證知當(dāng) 0 ≤s ≤15 , s ≠7,15時(shí),s可表為 3個(gè)平方和,又
,
,矛盾.
當(dāng) l =4 時(shí), 2l-1 =7,
.
若 t ≤4,s ≠7,
則由 s 可表為不超過(guò) 3個(gè)平方和, 3 ≤2l -1 -t ,矛盾;
若 1 ≤t ≤4,s =7 ,
則,矛盾;
若 t = 0 , s = 7 ,
則 r 可表為 7個(gè)12之和,矛盾 .
因此 , t ≥5.
從而,,
.
當(dāng)l ≤3 時(shí),.
下面只要考慮 n ≤67.
由于, 故只要考慮 m ≤9 .
表1
m | a(m - a)可能取值 | m - 1個(gè)形如 a(m - a)之和且小于或等于 67 |
9 | 8,14,18,20 | 64 |
8 | 7,12,15,16 | 49,54,57,58,59,62,63,64,65,66,67 |
7 | 6,10,12 | 36,40,42,44,46,48,50,52,54,56,58,60,62,64,66 |
6 | 5,8,9 | 25,28,29,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45 |
5 | 4,6 | 16,18,20,22,24 |
4 | 3,4 | 9,10,11,12 |
3 | 2 | 4 |
2 | 1 | 1 |
查表 1知不滿足要求的 n 為:2 , 3 , 5 , 6 ,7 , 8 , 13 , 14 , 15 , 17 , 19 , 21 , 23 , 26 , 27 , 30 , 47 , 51 ,53 , 55 , 61 ,其余 n 均滿足要求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四棱錐A-BCDE中,底面BCDE為矩形,側(cè)面ABC⊥底面BCDE,側(cè)面ABE⊥底面BCDE,BC=2,CD=4。
(I)證明:AB⊥面BCDE;
(II)若AD=2,求二面角C-AD-E的正弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱的各棱長(zhǎng)均為2, 面,E,F分別為棱的中點(diǎn).
(1)求證:直線BE∥平面;
(2)平面與直線AB交于點(diǎn)M,指出點(diǎn)M的位置,說(shuō)明理由,并求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】假設(shè)某市2011年新建住房400萬(wàn)m2,其中250萬(wàn)m2是中低價(jià)房,預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%.另外,每年新建住房中,中低價(jià)房的面積比上一年增加50萬(wàn)m2,那么到哪一年底,
(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2011年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬(wàn)m2?
(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,右焦點(diǎn)為,且橢圓過(guò)點(diǎn).
(I)求橢圓的方程;
(II)若點(diǎn)分別為橢圓的左右頂點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上不同于的動(dòng)點(diǎn),直線與直線x=a交于點(diǎn),證明:以線段為直徑的圓與直線相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)列,其前n項(xiàng)和為,且成等差數(shù)列。
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線C:(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P為雙曲線C上的一點(diǎn),線段PF1與y軸的交點(diǎn)M恰好是線段PF1的中點(diǎn),,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則雙曲線C的漸近線的斜率與離心率分別是( )
A. ±1, B. 1, C. ±2, D. 2,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為,若直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),且,求直線l的直角坐標(biāo)方程.
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