已知:數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足a1=1,當n∈N+時,Sn=an-n-1.
(1)求a2,a3,a4;
(2)猜想an,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想;
(3)已知
lim
n→∞
an
an+1+(a+1)n
=
1
2
,求a的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)a1=1,當n∈N+時,Sn=an-n-1,可求得a2,a3,a4;
(2)猜想an=2n-1,再用數(shù)學(xué)歸納法證明:當n=1時,經(jīng)驗證成立;假設(shè)當n=k,(k≥1)時結(jié)論成立,即ak=2k-1,則當n=k+1時,有sk=ak+1-k-1;sk-1=ak-(k-1)-1,兩式相減即可證得;
(3)
lim
n→∞
an
an+1+(a+1)n
=
1
2
,即
lim
n→∞
2n-1
2n+1-1+(a+1)n
=
1
2
,進而可得
lim
n→∞
(
a+1
2
)n=0
,從而可求a的取值范圍.
解答:解:(1)∵a1=1,當n∈N+時,Sn=an-n-1
∴S2=a2-3,∴a2=3;S3=a3-4,∴a3=7;S4=a4-5,∴a4=15
(2)猜想an=2n-1
證明:當n=1時,經(jīng)驗證成立
假設(shè)當n=k,(k≥1)時結(jié)論成立,即ak=2k-1
則當n=k+1時,有sk=ak+1-k-1;sk-1=ak-(k-1)-1,
兩式相減得到ak=ak+1-ak-1,∴ak+1=2ak+1,∴ak+1=2(2k-1)+1=2k+1-1
所以當n=k+1時,結(jié)論成立      
綜上所述:an=2n-1
(3)
lim
n→∞
an
an+1+(a+1)n
=
1
2
,即
lim
n→∞
2n-1
2n+1-1+(a+1)n
=
1
2

lim
n→∞
1-
1
2n
2-
1
2n
+(
a+1
2
)
n
=
1
2
,得到
lim
n→∞
(
a+1
2
)n=0

|
a+1
2
|<1

∴-3<a<-1
點評:本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)學(xué)歸納法的運用,考查數(shù)列的極限,掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明方法是關(guān)鍵.
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(2010•濟南一模)已知:數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=3且當n≥2n∈N+滿足Sn-1是an與-3的等差中項.
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1
8
(a n+2)2
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8
anan+1
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1
4
(an+1)2
,數(shù)列b1,b2-b1,b3-b2,…,bn-bn-1是首項為1,公比為
1
2
的等比數(shù)列.
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Tn
an+2
)
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