Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n+n-4（n∈N^*）
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_nlog₂（a_n-1），求數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n=2a_n+n-4，可得S_n-1=2a_n-1+（n-1）-4，兩式相減可得a_n-1=2（a_n-1-1），故數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，由此可求；
（2）由（1）可得，然后分兩部分求和，一部分錯位相減，一部分等差數(shù)列的求和公式，即可得答案．
解答：解：（1）∵S_n=2a_n+n-4，∴S_n-1=2a_n-1+（n-1）-4
∴a_n=2a_n-2a_n-1+1，從而a_n=2a_n-1-1即a_n-1=2（a_n-1-1）
∴數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列
又a₁=S₁=2a₁-3，故a₁=3
因此
∴
（2）由（1）可得
記
∴
兩式相減可得：
=
∴
∴
點評：本題為數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及錯位相減法求和以及分項求和，屬中檔題．