Question

已知{a_n}是等比數列，公比q＞1，前n項和為Sn，且

S3

a2

=

7

2

，a4=4，數列{bn}滿足：bn=

1

n+log2an+1

．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設數列{b_nb_n+1}的前n項和為T_n，求證

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由{a_n}是等比數列，公比q＞1，且

S3

a2

=

7

2

，a₄=4，利用等比數列的通項公式和前n項和公式列出方程組，求出a1=

1

2

，q=2，由此能求出a_n，再由a_n能求出b_n．
（2）由b_n=

1

2n-1

，設c_n=b_nb_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂項求和法求出數列{b_nb_n+1}的前n項和為T_n，由此能夠證明

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)．

解答：解：（1）∵{a_n}是等比數列，公比q＞1，且

S3

a2

=

7

2

，a₄=4，
∴

a1(1-q3) a1q(1-q) = 7 2 a1q3=4

，解得a1=

1

2

，q=2，
∴an=

1

2

×2n-1=2^n-2．
∴b_n=

1

n+log2an+1

=

1

n+log22n-1

=

1

2n-1

，
（2）設c_n=b_nb_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

（1-

1

2n+1

）
=

1

2

-

1

4n+2

＜

1

2

，
因為T_n＜T_n+1，所以

1

3

=T1≤Tn＜

1

2

，n∈N^*．
故

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明．解題時要認真審題，注意等比數列的性質和裂項求和法的合理運用．