如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意的x，都有f（x）≥M（M為常數(shù)），稱M為f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下確界．定義在[1，e]上的函數(shù)f（x）=2x-1+lnx的下確界M=
1
1
．
分析：根據(jù)題中函數(shù)下界和下確界的定義，得到函數(shù)的下確界是小于或等于函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)的最小值的那個(gè)常數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）=2x-1+lnx的單調(diào)性，得到它在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，最小值為f（1）=1，從而得到函數(shù)的下確界M=1．
解答：解：∵對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意的x，都有f（x）≥M（M為常數(shù)），
∴函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意的x，[f（x）]min≥M
∵M(jìn)為f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下確界．
∴下確界是小于或等于函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)的最小值的常數(shù)
對(duì)于f（x）=2x-1+lnx，求導(dǎo)數(shù)得：f'（x）=2+
1
x
，其中x∈[1，e]
∵
1
x
∈[
1
e
，1]，
∴f'（x）≥2+
1
e
＞0
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，故[f（x）]min=f（1）=2×1-1+ln1=1
∴對(duì)任意的x∈[1，e]，f（x）≥1成立
函數(shù)的下界為小于或等于1的數(shù)，其中最大值為1，因此下確界M=1
故答案為：1
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)的下界和下確界為載體，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值的求法，考查了對(duì)不等式恒成立的理解，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意的x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，那么就稱函數(shù)f（x）是定義域上的“平緩函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x2-x，x∈[0，1]是否是“平緩函數(shù)”；
（2）若函數(shù)f（x）是閉區(qū)間[0，1]上的“平緩函數(shù)”，且f（0）=f（1）．證明：對(duì)于任意
的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤
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成立．
（3）設(shè)a、m為實(shí)常數(shù)，m＞0．若f（x）=alnx是區(qū)間[m，+∞）上的“平緩函數(shù)”，試估計(jì)a的取值范圍（用m表示，不必證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

8、如果對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意的兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f（x1）≤f（x2），且存在兩個(gè)不相等的自變量值y1，y2，使得f（y1）=f（y2），就稱f（x）為定義域上的不嚴(yán)格的增函數(shù)，已知函數(shù)g（x）的定義域、值域分別為A、B，A=1，2，3，B⊆A，且g（x）為定義域A上的不嚴(yán)格的增函數(shù)，那么這樣的g（x）共有（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)的任意x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，那么就稱函數(shù)f（x）是定義域上的“平緩函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x2-x，x∈[0，1]是否是“平緩函數(shù)”？
（2）若函數(shù)f（x）是閉區(qū)間[0，1]上的“平緩函數(shù)”，且f（0）=f（1）．證明：對(duì)任意的x，x2∈[0，1]都有|f(x1)-f(x2)|≤
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．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．如果對(duì)于函數(shù)f（x）的所有上界中有一個(gè)最小的上界，就稱其為函數(shù)f（x）的上確界．已知函數(shù)f(x)=1+a•(
1
2
)x+(
1
4
)x，g(x)=
1-m•2x
1+m•2x
．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，1]上的上確界T（m）．

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