Question

一條雙曲線

x2

4

-y2=1的左、右頂點分別為A₁，A₂，點M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）是雙曲線上不同的兩個動點．
（1）求直線A₁M與A₂N交點的軌跡E的方程式；
（2）設(shè)直線l與曲線E相交于不同的兩點A，B，已知點A的坐標(biāo)為（-2，0），若點Q（0，y₀）在線段AB的垂直平分線上，且

QA

•

QB

=4．求y₀的值．

Answer 1

分析：（1）由A1M：y=

y1

x1+2

(x+2)，A2N：y=

-y1

x1-2

(x-2)，兩式相乘得-y2=

y 2 1

x 2 1 -4

(x2-4)，而點M（x₁，y₁）在雙曲線上，所以

y12

x12-4

=

1

4

，由此能求出軌跡E的方程．
（2）由（1）可知A（-2，0）．設(shè)B點的坐標(biāo)為（x₁，y₁），直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+2），于是A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，由-2x1=

16k2-4

1+4k2

，得x1=

2-8k2

1+4k2

，從而y1=

4k

1+4k2

，由此入手能夠求出y₀的值．

解答：解：（1）由A1M：y=

y1

x1+2

(x+2)，A2N：y=

-y1

x1-2

(x-2)，…（2分）
兩式相乘得-y2=

y 2 1

x 2 1 -4

(x2-4)，而點M（x₁，y₁）在雙曲線上，所以

y12

x12-4

=

1

4

…（2分）
所以軌跡E的方程為

x2

4

-

y2

2

=1．…．（1分）
（2）解：由（1）可知A（-2，0）．設(shè)B點的坐標(biāo)為（x₁，y₁），直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+2），
于是A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組

y=k(x+2) x2 4 - y2 2 =1

，
由方程組消去y并整理，得（1-2k²）x²-8k²x-（8k²+4）=0，…（1分）
由-2x1=

16k2-4

1+4k2

，得x1=

2-8k2

1+4k2

，從而y1=

4k

1+4k2

，
設(shè)線段AB是中點為M，則M的坐標(biāo)為（-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

），…（1分）
①當(dāng)k=0時，點B的坐標(biāo)為（2，0）．線段AB的垂直平分線為y軸，于是

QA

=(-2，-y0)，

QB

=(2，-y0)，由

QA

•

QB

=4，得y0=± 2

2

．…（1分）
②當(dāng)k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為Y-

2k

1+4k2

=-

1

k

(x+

8k2

1+4k2

)，
令x=0，解得y0=

-6k

1+4k2

，由

QA

=(-2，-y0)，

QB

=(x1，y1-y0)，

QA

•

OB

=-2x1-y0(y1-y0)
=

-2(2-8k2)

1+4k2

+

6k

1+4k2

（

4k

1+4k2

+

6k

1+4k2

）
=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

=4，…（2分）
整理得7k²=2，故k=±

14

7

，∴y0=±

2 14

5

．
綜上y0=±2

2

或y0=±

2 14

5

．…（2分）

點評：本題考查雙曲線方程和橢圓方程的求法，考查雙曲線方程和橢圓方程的簡單性質(zhì)以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．