Question

如圖是某直三棱柱（側棱與底面垂直）被削去一部分后的直觀圖與三視圖中的側(左)視圖、俯視圖，側(左)視圖是底邊長分別為2和4的直角梯形，俯視圖是直角邊長為2的等腰直角三角形．

（Ⅰ）求出該幾何體的體積；

（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BCD；

（Ⅲ）求直線CE與平面BDE的夾角正弦值．

 

Answer 1

．解：（Ⅰ）由a₁＝2，得a₂＝a－a₁＋1＝3，由a₂＝3，得a₃＝a－2a₂＋1＝4，………… 3分

由a₃＝4，得a₄＝a－3a₃＋1＝5.由此猜想a_n的一個通項公式為：a_n＝n＋1(n∈N^*)．… 6分

（Ⅱ）證明：①當n＝1時，a₁=2，猜想成立．………………………………………… 7分

②假設當n＝k（k∈N^*且k≥1）時猜想成立，即a_k=k＋1，

那么當n＝k＋1時，a_k＋1＝a_k(a_k－k)＋1=(k＋1)(k＋1－k)＋1＝k＋2，……………… 11分

也就是說，當n＝k＋1時，a_k＋1=(k＋1)＋1. 猜想成立

根據(jù)①和②，對于所有n∈N^*，都有a_n=n＋1. ………………………………… 12分