Question

已知向量

m

=(sinx，

3

2

)，

n

=(cosx，-1)，設(shè)f(x)=(

m

+

n

)•

n

．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式，并求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若f(A)=

1

2

，b=1，S△ABC=

1

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

m

=(sinx，

3

2

)，

n

=(cosx，-1)，利用數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式化簡函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，即可得到結(jié)論；
（2）由f(A)=

2

2

sin(2A+

π

4

)=

1

2

得sin(2A+

π

4

)=

2

2

，從而可求A的值，利用三角形的面積公式，結(jié)合余弦定理可求a的值．

解答：解：（1）∵

m

=(sinx，

3

2

)，

n

=(cosx，-1)
∴f(x)=(

m

+

n

)•

n

=

m

•

n

+

n

2=sinxcosx+cos²x-

1

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)．
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，得

π

8

+kπ≤x≤

5π

8

+kπ（k∈Z），
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]（k∈Z）． …（6分）
（2）由f(A)=

2

2

sin(2A+

π

4

)=

1

2

得sin(2A+

π

4

)=

2

2

．
又∵A為△ABC的內(nèi)角，∴2A+

π

4

=

3

4

π，∴A=

π

4

．
∵b=1，S△ABC=

1

2

，∴

1

2

bcsinA=

1

2

． 
∵a²=b²+c²-2bccosA
∴a=1…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的運(yùn)算、三角變換、三角函數(shù)的單調(diào)性、三角形的面積、余弦定理等知識(shí)，考查學(xué)生運(yùn)算能力和運(yùn)用用知識(shí)的能力，中等題．