Question

5．已知點(diǎn)G為△ABC的重心，過(guò)G作直線(xiàn)與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AN}=y\overrightarrow{AC}$，x，y∈R⁺，則x+y的最小值為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 M，G，N三點(diǎn)共線(xiàn)，存在m，使$\overrightarrow{AG}$=m$\overrightarrow{AM}$+（1-m）$\overrightarrow{AN}$=mx$\overrightarrow{AB}$+（1-m）y$\overrightarrow{AC}$，又G是△ABC的重心，可得$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵M(jìn)，G，N三點(diǎn)共線(xiàn)，
∴存在m，使$\overrightarrow{AG}$=m$\overrightarrow{AM}$+（1-m）$\overrightarrow{AN}$=mx$\overrightarrow{AB}$+（1-m）y$\overrightarrow{AC}$，
又∵G是△ABC的重心，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=mx$\overrightarrow{AB}$+（1-m）y$\overrightarrow{AC}$，
∴mx=$\frac{1}{3}$，（1-m）y=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}$=1，即$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=3．
∴x+y=（x+y）$•\frac{1}{3}（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）$=$\frac{1}{3}（2+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}）$≥$\frac{1}{3}（2+2\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{x}}）$=$\frac{4}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\frac{2}{3}$時(shí)取等號(hào)．
故答案為：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了、向量共線(xiàn)對(duì)立、三角形重心性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．