Question

設函數f（x）=|x-a|，g（x）=x+1．
（1）當a=1時，求不等式f（x）≥3g（x）-1的解集．
（2）若不等式f（x）≤g（x）在x∈[0，2]上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當a=1時，f（x）=|x-1|，
不等式f（x）≥3g（x）-1即|x-1|≥3x+2．
①當x＜時，由于|x-1|≥0且3x+2＜0，不等式成立
②當x≥時，|x-1|≥3x+2≥0，兩邊平方得：（x-1）²≥（3x+2）²，
解之得：-≤x≤-
綜上所述，不等式f（x）≥3g（x）-1的解集是（-∞，-]；
（2）不等式f（x）≤g（x），即|x-a|≤x+1在x∈[0，2]上恒成立，
①當a≤0時，不等式轉化為x-a≤x+1，
可得a≥-1時不等式恒成立，所以-1≤a≤0；
②當a≥2時，不等式轉化為a-x≤x+1，可得x≥（a-1），
可得當（a-1）≤0時，即a≤1，與大前提矛盾，故這種情況不成立；
③當0＜a＜2時，不等式轉化為x-a≤x+1在[a，2]上恒成立，且a-x≤x+1在[0，a]上恒成立，
即a≥-1在[a，2]上恒成立，且x≥（a-1）在[0，a]上恒成立，
∴此時a的取值范圍為0＜a≤1
綜上所述，實數a的取值范圍是[-1，1]
分析：（1）當a=1時，f（x）=|x-1|，然后分x＜和x≥兩種情況加以討論，分別解關于x的不等式，最后取兩部分的并集即可得到原不等式的解集；
（2）由題意，得|x-a|≤x+1在x∈[0，2]上恒成立，分a≤0、a≥2和0＜a＜2三種情況加以討論，分別求出滿足條件實數a的取值范圍，最后綜合即可得到實數a的取值范圍．
點評：本題給出含有參數且含有絕對值的不等式，求不等式的解集并討論了函數恒成立的問題，著重考查函數的性質及應用、絕對值不等式的解法等知識，屬于中檔題．