Question

已知f(x)=(1+x)(x+

1

x3

)n（n∈N^*）．
（1）當(dāng)n=8時，求f（x）展開式中的常數(shù)項；
（2）若f（x）展開式中沒有常數(shù)項，且2＜n＜6，求n的值，并求此時f（x）展開式中含x²項的系數(shù)．

Answer 1

分析：（1）將n的值代入f（x），利用多項式的乘法展開，利用二項展開式的通項公式求出兩部分的通項，令x的指數(shù)為0求出r的值，代入通項求出展開式的常數(shù)項．
（2）按多項式的乘法展開，利用二項展開式的通項公式求出兩部分的通項，令x的指數(shù)不為0，在n的范圍內(nèi)求出n，將n的值代入通項，令x的指數(shù)為2，求出展開式中含x²項的系數(shù)．

解答：解：（1）當(dāng)n=8時，f(x)=(x+

1

x3

)8+x(x+

1

x3

)8
(x+

1

x3

)8的通項為C₈^rx^8-4r，
當(dāng)r=2時為常數(shù)項C₈²=28
x(x+

1

x3

)8的通項為C₈^kx^9-4k，無常數(shù)項
故f（x）展開式中常數(shù)項為28
（2）(1+x)(x+

1

x3

)n=(x+

1

x3

)n+x(x+

1

x3

)n
(x+

1

x3

)n的通項為C_n^rx^n-4r，無常數(shù)項，故n≠4
x(x+

1

x3

)n的通項為C_n^kx^n-4k+1，無常數(shù)項．故n≠4k-1
由于n∈N^*且2＜n＜6，
故n=5
當(dāng)n=5時，x²項的系數(shù)求解如下：5-4r=2無解；
5-4k+1=2，故k=1，所以x²項的系數(shù)為C₅¹=5．

點評：解決二項展開式的特定項的問題，一般利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，再解決．