Question

19．過點$M（{1，2\sqrt{2}}）$作直線交拋物線x²=2py（p＞0）于A、B且M為A、B中點，過A、B分別作拋物線切線，兩切線交于點N，若N在直線y=-2p上，則p=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由拋物線x²=2py（p＞0），得y′=$\frac{x}{p}$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），過點A的切線方程為x₁x=p（y+y₁），過點B的切線方程為x₂x=p（y+y₂），由已知得點A，B在直線xx₀=p（y₀+y）上，由此能求出p的值．

解答 解：由拋物線x²=2py（p＞0），得y′=$\frac{x}{p}$，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴過點A的切線方程為：y-y₁=$\frac{{x}_{1}}{p}（x-{x}_{1}）$，即x₁x=p（y+y₁），
同理求得過點B的切線方程為：x₂x=p（y+y₂），
設(shè)N（x₀，y₀），∵過A、B分別作拋物線切線，兩切線交于點N，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{0}=p（{y}_{0}+{y}_{1}）}\\{{x}_{2}{x}_{0}=p（{y}_{0}+{y}_{2}）}\end{array}\right.$，
∴點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在直線xx₀=p（y₀+y）上，
∵直線AB過定點M（1，2$\sqrt{2}$），∴${x}_{0}=p（2\sqrt{2}+{y}_{0}）$，
∵N在直線y=-2p上，∴N（0，-2$\sqrt{2}$），
∴p=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線中參數(shù)p的值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)的幾何意義的合理運用．