Question

（2009•黃岡模擬）設(shè)函數(shù)f_n（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-…+

x2n-1

2n-1

，n∈N^*．
（1）討論函數(shù)f₂（x）的單調(diào)性；
（2）判斷方程f_n（x）=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）寫出要用的函數(shù)，對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，配方整理看出導(dǎo)函數(shù)一定小于0，得到函數(shù)的單調(diào)性．
（2）首先驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，只有一個(gè)解，在驗(yàn)證n大于等于2時(shí)的情況，求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)看出函數(shù)的單調(diào)性，看出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）f₂（x）=1+x-

1

2

x²+

1

3

x³，f₂′（x）=-1-x+x²=（x-

1

2

）²+

3

4

＞0，
所以f₂（x）在R單調(diào)遞增．
（2）f₁（x）=1+x有唯一實(shí)數(shù)解x=-1
由f_n（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

+…+

x2n-1

2n-1

，n∈N^*，
得f_n′（x）=1-x+x²-…-x^2n-3+x^2n-2．
（1）若x=-1，則f_n′（x）=（2n-1）＞0．
（2）若x=0，則f_n′（x）=1＞0．
（3）若x≠-1，且x≠0時(shí)，則f_n′（x）=

x2n-1+1

x+1

．
①當(dāng)x＜-1時(shí)，x+1＜0，x^2n-1+1＜0，f_n′（x）＞0．
②當(dāng)x＞-1時(shí)，f_n′（x）＞0
綜合（1），（2），（3），得f_n′（x）＞0，
即f_n（x）在R單調(diào)遞增．          （10分）
又f_n（0）=1＞0，f_n（-1）=1+（-1）-

1

2

+

1

3

-…-

1

2n-2

+

1

2n-1

＜0，
所以f_n（x）在（-1，0）有唯一實(shí)數(shù)解，從而f_n（x）在R有唯一實(shí)數(shù)解．
綜上，f_n（x）=0有唯一實(shí)數(shù)解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是可以導(dǎo)數(shù)看出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)與橫軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．