Question

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）在R上恒有f′（x）＜

1

2

，則不等式f（x）＜

x

2

+

1

2

的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專題：函數(shù)思想,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-（

1

2

x+

1

2

），x∈R；
利用g′（x）判定g（x）的單調(diào)性，從而求出不等式f（x）＜

1

2

x+

1

2

的解集．

解答： 解：根據(jù)題意，設(shè)g（x）=f（x）-（

1

2

x+

1

2

），x∈R；
∴g′（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
∴g（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)；
又∵g（1）=f（1）-（

1

2

+

1

2

）=0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＜0恒成立，
即f（x）＜

1

2

x+

1

2

在x＞1時(shí)恒成立，
∴原不等式的解集是（1，+∞）．
故答案為：（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求不等式的解集的問題，解題時(shí)應(yīng)構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性并求出不等式的解集，
是基礎(chǔ)題目．