Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-mx
（1）若m=3，求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）求導后，由f′（x）=0，得x=1，或x=

1

2

，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)的極小值．
（2）函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則f′（x）=

1

x

+2x-m=

2x2-mx+1

x

≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為m≤（2x+

1

x

）min．

解答： 解：（1）若m=3，f（x）=lnx+x²-3x，（x＞0），
f′（x）=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

，
由f′（x）=0，得x=1，或x=

1

2

，
當0＜x＜

1

2

，或x＞1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當

1

2

＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
所以當x=1時，函數(shù)f（x）有極小值f（1）=ln1+1-3=-2；
（2）f′（x）=

1

x

+2x-m=

2x2-mx+1

x

，
若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，則f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即2x²-mx+1≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴m≤

2x2+1

x

=2x+

1

x

，只需m≤（2x+

1

x

）min，
而2x+

1

x

≥2

2x• 1 x

=2

2

．當且僅當2x=

1

x

，x=

2

2

時等號成立，
所以（2x+

1

x

）min=2

2

，
所以數(shù)m的取值范圍為m≤2

2

．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值求解，不等式恒成立問題，考查分離參數(shù)的解題方法．