Question

【題目】已知橢圓： 的離心率與雙曲線(xiàn)： 的離心率互為倒數(shù)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，已知是橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)，線(xiàn)段的中垂線(xiàn)的斜率為且與交于點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證： 三點(diǎn)共線(xiàn)．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(1)由二者離心率互為倒數(shù)以及橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，建立關(guān)于a，b，c的方程組從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）因?yàn)榫�(xiàn)段線(xiàn)段的中垂線(xiàn)的斜率為，所以線(xiàn)段所在直線(xiàn)的斜率為，線(xiàn)段所在直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程可得，利用韋達(dá)定理得到弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)，所以，所以點(diǎn)在定直線(xiàn)上，而兩點(diǎn)也在定直線(xiàn)上，所以三點(diǎn)共線(xiàn)．

試題解析：

（1）因?yàn)殡p曲線(xiàn)： 的離心率，

而橢圓的離心率與雙曲線(xiàn)的離心率互為倒數(shù)，所以橢圓的離心率為，

設(shè)橢圓的半焦距為，則.①

又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以.②

，③

聯(lián)立①②③，解得.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）因?yàn)榫�(xiàn)段線(xiàn)段的中垂線(xiàn)的斜率為，所以線(xiàn)段所在直線(xiàn)的斜率為.

所以可設(shè)線(xiàn)段所在直線(xiàn)的方程為，

設(shè)點(diǎn)，

聯(lián)立，消去，并整理得，

顯然.

所以

，

則

因?yàn)?/span>，所以，

所以點(diǎn)在定直線(xiàn)上，而兩點(diǎn)也在定直線(xiàn)上，所以三點(diǎn)共線(xiàn)．