Question

【題目】如圖，圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，圓臺(tái)的側(cè)面積為.若點(diǎn)分別為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在平面的同側(cè).

（1）求證:；

（2）若，則當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)圓臺(tái)側(cè)面積公式可以求出上下兩底面的半徑，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)、直角三角形的判斷方法進(jìn)行證明即可；

（2）根據(jù)三棱錐的體積公式，結(jié)合基本不等式確定點(diǎn)位置，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

（1）證明:設(shè)圓的半徑分別為

因?yàn)閳A臺(tái)的側(cè)面積為，

所以，可得

因此，在等腰梯形中，.

如圖，連接線段，

在圓臺(tái)中，平面平面，

所以.

又，

所以在中，.

在中，，

故，即.

（2）解:由題意可知，三棱錐的體積為

又在直角三角形中，

所以當(dāng)且僅當(dāng)，

即點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)，有最大值

連接，因?yàn)?/span>平面，

所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別以的方向?yàn)?/span>軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

點(diǎn)，

由可知，

設(shè)平面的法向量

則，，

取，

則

所以與平面所成角的正弦值為