如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：AD⊥D1F；

（Ⅱ）求AE與D1F所成的角；

（Ⅲ）證明：面AED⊥面A1FD1；

（Ⅳ）（理）設(shè)AA1＝2，求三棱錐F—A1ED1的體積.

（文）設(shè)AA1＝2，求三棱錐E—AA1F的體積.

答案：
解析：

（Ⅰ）證明：AD⊥D1F；

（Ⅱ）解：取AB中點(diǎn)G，連A1G、FG，因?yàn)?i>F是CD中點(diǎn)，所以CFAD，又A1D1AD，所以GFA1D1，故GFD1A1是平行四邊形，A1G∥D1F.

設(shè)A1G與AE交于點(diǎn)H，則∠AHA1是AE與D1F所成的角，因E是BB1中點(diǎn)，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A＝∠GAH，從而∠AHA1＝90°，即直線AE與D1F所成角為直角.

（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知AD⊥D1F，由（Ⅱ）知AE⊥D1F，又AD∩AE＝A，所以D1F⊥面AED，又D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1.

（Ⅳ）解：（理）連GE、GD1，因?yàn)?i>FG∥A1D，所以FG∥面A1ED1，所以體積，

因?yàn)?i>AA1＝2，

所以面積

所以.

（文）∵體積

又FG⊥面ABB1A1，三棱錐F—AA1E的高FG＝AA1＝2，


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，問球O的表面積．
（1） 如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有S=
 
．
（2）如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有S=
 
．
精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點(diǎn)．證明：向量
A1B
、
B1C
、
EF
是共面向量．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為8，E、F分別為AD1，CD1中點(diǎn)，G、H分別為棱DA，DC上動(dòng)點(diǎn)，且EH⊥FG．
（1）求GH長的取值范圍；
（2）當(dāng)GH取得最小值時(shí)，求證：EH與FG共面；并求出此時(shí)EH與FG的交點(diǎn)P到直線B1B的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E、F、G分別為棱BC、C1C、B1C1的中點(diǎn)，O1、O2分別為四邊形ADD1A1、A1B1C1D1的中心，則下列各組中的四個(gè)點(diǎn)不在同一個(gè)平面上的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是所在棱的三等分點(diǎn)，且BF=DE=C1G=C1H=
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AB．
（1）證明：直線EH與FG共面；
（2）若正方體的棱長為3，求幾何體GHC1-EFC的體積．

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