Question

.(本小題滿分12分)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，一個(gè)頂點(diǎn)為，且其右焦點(diǎn)到直線的距離為3．

(1)求橢圓的方程；

(2)是否存在斜率為 ，且過定點(diǎn)的直線，使與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，且？若存在，求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）. （Ⅱ）或。

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解和直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

（1）設(shè)橢圓的方程為,由已知得.    

設(shè)右焦點(diǎn)為，由題意得 得到結(jié)論。

（2）直線的方程    ，  代入橢圓方程,得

    

 由   得結(jié)合韋達(dá)定理和點(diǎn)在線段的中垂線上，得到k的值。

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為,由已知得.    

設(shè)右焦點(diǎn)為，由題意得     ……………………………2分

.  

橢圓的方程為.     ……………………4分

（Ⅱ）直線的方程    ，  代入橢圓方程,得

    

 由   得…………………6分

設(shè)點(diǎn)則   

設(shè)、的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.   ………………8分 

點(diǎn)在線段的中垂線上.                      

      化簡(jiǎn),得  .   ……………………………10分 

 

所以,存在直線滿足題意，直線的方程為

或  ……………………………12分