Question

已知橢圓兩焦點坐標分別為,，且經(jīng)過點．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）已知點，直線與橢圓交于兩點．若△是以為直角頂點的等腰直角三角形，試求直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）或或.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由橢圓的定義可求得和，再根據(jù)，可求得。即可求出橢圓方程。（Ⅱ）由點斜式設出直線方程，然后聯(lián)立，消掉（或）得到關于的一元二次方程。因為有兩個交點所以判別式大于0，再根據(jù)韋達定理得出根與系數(shù)的關系。根據(jù)題意可知且。用這兩個條件可列出兩個方程。如用直線垂直來解需討論斜率存在與否，為了省去討論可轉(zhuǎn)化為向量垂直問題用數(shù)量積公式求解， 注意討論根的取舍。

試題解析：解：（Ⅰ）設橢圓標準方程為．依題意

，所以．

又，所以．

于是橢圓的標準方程為． 5分

（Ⅱ）依題意，顯然直線斜率存在.設直線的方程為，則

由得．

因為,得． ①

設，線段中點為，則

于是．

因為，線段中點為，所以．

（1）當，即且時，

，整理得． ②

因為，，

所以

，

整理得，解得或．

當時，由②不合題意舍去.

由①②知，時，．

（2）當時，

（ⅰ）若時，直線的方程為，代入橢圓方程中得.

設，,依題意，若△為等腰直角三角形，則

.即，解得或.不合題意舍去，

即此時直線的方程為.

（ⅱ）若且時，即直線過原點.依橢圓的對稱性有,則依題意不能有,即此時不滿足△為等腰直角三角形.

綜上，直線的方程為或或. 14分

考點：1橢圓的定義；2直線與圓錐曲線的位置關系