已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點,AB=
3
,∠ASC=∠BSC=30°,則棱錐S-ABC的體積為( 。
A、3
3
B、2
3
C、
3
D、1
分析:設(shè)球心為點O,作AB中點D,連接OD,CD,說明SC是球的直徑,利用余弦定理,三角形的面積公式求出S△SCD,和棱錐的高AB,即可求出棱錐的體積.
解答:精英家教網(wǎng)解:設(shè)球心為點O,作AB中點D,連接OD,CD 因為線段SC是球的直徑,
所以它也是大圓的直徑,則易得:∠SAC=∠SBC=90°
所以在Rt△SAC中,SC=4,∠ASC=30° 得:AC=2,SA=2
3

又在Rt△SBC中,SC=4,∠BSC=30° 得:BC=2,SB=2
3
則:SA=SB,AC=BC
因為點D是AB的中點所以在等腰三角形ASB中,SD⊥AB且SD=
SA2-AD2
=
12-
3
4
=
3
5
2

在等腰三角形CAB中,CD⊥AB且CD=
AC2-AD2
=
4-
3
4
=
13
2

又SD交CD于點D 所以:AB⊥平面SCD 即:棱錐S-ABC的體積:V=
1
3
AB•S△SCD,
因為:SD=
3
5
2
,CD=
13
2
,SC=4 所以由余弦定理得:cos∠SDC=(SD2+CD2-SC2
1
2SD•CD
=(
45
4
+
13
4
-16)
1
2× 
3
5
2
 ×
13
2
=-
6
4
1
3
65
2
=-
1
65

則:sin∠SDC=
1-cos2∠SDC
=
8
65

由三角形面積公式得△SCD的面積S=
1
2
SD•CD•sin∠SDC=
1
2
×
3
5
2
×
13
2
×
8
65
=3
所以:棱錐S-ABC的體積:V=
1
3
AB•S△SCD=
1
3
×
3
×3
=
3

故選C
點評:本題是中檔題,考查球的內(nèi)接棱錐的體積的求法,考查空間想象能力,計算能力,有難度的題目,?碱}型.
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4
3
3
4
3
3

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已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點,AB=2.∠ASC=∠BSC=45°則棱錐S—ABC的體積為(    )

A.    B.    C.  D.

 

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已知球的直徑SC=4,.A.,B是該球球面上的兩點,AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,

則棱錐S-ABC的體積為

(A)                      (B)

(C)                     (D)

 

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