Question

關(guān)于x的一元二次方程x²+2tx+|a+2|+|a-1|=0對(duì)任意a∈R無實(shí)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意可得△＜0，即t²＜|a+2|+|a-1|對(duì)a∈R恒成立，利用絕對(duì)值三角不等式求得（|a+2|+|a-1|）_min=3，可得 t²＜3，由此求得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：∵關(guān)于x的一元二次方程x²+2tx+|a+2|+|a-1|=0對(duì)任意a∈R無實(shí)根，
∴△=4t²-4（|a+2|+|a-1|）＜0，即t²＜|a+2|+|a-1|對(duì)a∈R恒成立，（2分）
而|a+2|+|a-1|≥|（a+2）-（a-1）|=3，（4分）
當(dāng)且僅當(dāng)（a+2）（a-1）≤0，即-2≤a≤1時(shí)等號(hào)成立，∴（|a+2|+|a-1|）_min=3，（6分）
∴t²＜3，求得-

3

＜t＜

3

，∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-

3

，

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查絕對(duì)不等式、絕對(duì)值三角不等式，不等式證明等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．