Question

（2013•泉州模擬）定義域為D的函數(shù)f（x），其導函數(shù)為f′（x）．若對?x∈D，均有f（x）＜f′（x），則稱函數(shù)f（x）為D上的夢想函數(shù)．
（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=sinx，試判斷f（x）是否為其定義域上的夢想函數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=ax+a-1（a∈R，x∈（0，π））為其定義域上的夢想函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）已知函數(shù)h（x）=sinx+ax+a-1（a∈R，x∈[0，π]）為其定義域上的夢想函數(shù)，求a的最大整數(shù)值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）按照夢想函數(shù)的定義舉反例即可；
（Ⅱ）求出g′（x）=a，由g（x）為（0，π）上為夢想函數(shù)，得ax+a-1＜a在x∈（0，π）上恒成立，分離出參數(shù)a后轉化為函數(shù)最值解決；
（Ⅲ）求出h'（x）=cosx+a，由題意得h'（x）＞h（x）在x∈[0，π]恒成立，即ax＜cosx-sinx+1在x∈[0，π]上恒成立．x=0時易判斷成立；當0＜x≤π時，可得a＜

cosx-sinx+1

x

對任意x∈（0，π]恒成立．令F(x)=

cosx-sinx+1

x

，利用導數(shù)可求得F（x）的最小值及其范圍，從而得到a的范圍，進而得到答案；

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sinx不是其定義域上的夢想函數(shù)．
理由如下：f（x）=sinx的定義域D=R，f'（x）=cosx，
存在x=

π

3

，使f(

π

3

)＞f′(

π

3

)，
故函數(shù)h（x）=sinx不是其定義域D=R上的夢想函數(shù)．
（Ⅱ）g（x）=ax+a-1，g'（x）=a，
若函數(shù)g（x）=ax+a-1在x∈（0，π）上為夢想函數(shù)，
則ax+a-1＜a在x∈（0，π）上恒成立，即a＜

1

x

在x∈（0，π）上恒成立，
因為y=

1

x

在x∈（0，π）內的值域為(

1

π

，+∞)，
所以a≤

1

π

．
（Ⅲ）h'（x）=cosx+a，由題意h'（x）＞h（x）在x∈[0，π]恒成立，
故cosx+a＞sinx+ax+a-1，即ax＜cosx-sinx+1在x∈[0，π]上恒成立．
①當x=0時，a•0＜cos0-sin0+1=2顯然成立；
②當0＜x≤π時，由ax＜cosx-sinx+1，可得a＜

cosx-sinx+1

x

對任意x∈（0，π]恒成立．
令F(x)=

cosx-sinx+1

x

，則F′(x)=

(-sinx-cosx)•x-(cosx-sinx+1)

x2

，
令k（x）=（-sinx-cosx）•x-（cosx-sinx+1），
則k′(x)=(sinx-cosx)•x=

2

x•sin(x-

π

4

)．
當x∈(0，

π

4

]時，因為k'（x）≤0，所以k（x）在(0，

π

4

]單調遞減；
當x∈(

π

4

，π]時，因為k'（x）≥0，所以k（x）在(

π

4

，π]單調遞增．
∵k（0）=-2＜0，k(

π

4

)=-

2

4

π-1＜0，
∴當x∈(0，

π

4

]時，k（x）的值均為負數(shù)．
∵k(

π

4

)=-

2

4

π-1＜0，k（π）=π＞0，
∴當x∈(

π

4

，π]時，k（x）有且只有一個零點x₀，且x0∈(

π

4

，π)．
∴當x∈（0，x₀）時，k（x）＜0，所以F'（x）＜0，可得F（x）在（0，x₀）單調遞減；
當x∈（x₀，π）時，k（x）＞0，所以F'（x）＞0，可得F（x）在（x₀，π）單調遞增．
則F(x)min=F(x0)=

cosx0-sinx0+1

x0

．
因為k（x₀）=0，所以cosx₀-sinx₀+1=（-sinx₀-cosx₀）•x₀，
F(x)min=F(x0)=-sinx0-cosx0=-

2

sin(x0+

π

4

)．
∵k（x）在(

π

4

，π]上單調遞增，k(

π

2

)=-

π

2

＜0，k(

3π

4

)=

2

-1＞0，
∴

π

2

＜x0＜

3π

4

，
所以-1＜-

2

sin(x0+

π

4

)＜0，即-1＜F（x₀）＜0．
又因為a＜F（x₀），所以a的最大整數(shù)值為-1．

點評：本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想等．