Question

設(shè)兩個復(fù)數(shù)集M={z|z=a+i（1-a²），a∈R}，N={z|z=sinθ+i(m-

3

2

sin2θ)，m∈R，θ∈[0，

π

2

]}，若M∩N≠Φ，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：若M∩N≠Φ，即是說，存在a，θ，m使得a+i(1-a2)=sinθ+i(m-

3

2

sin2θ)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義得到

a=sinθ 1-a2=m- 3 2 sin2θ

消去a后有1-sin2θ=cos2θ=m-

3

2

sin2θ，看作m關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，求出實數(shù)m的取值范圍．．

解答：解：若M∩N≠Φ，則有z0=a+i(1-a2)=sinθ+i(m-

3

2

sin2θ)，
據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義 得

a=sinθ 1-a2=m- 3 2 sin2θ

⇒1-sin2θ=cos2θ=m-

3

2

sin2θ，
 看作m關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，
移向得m=

3

2

sin2θ+

1

2

cos2θ+

1

2

=sin(2θ+

π

6

)+

1

2

，∵θ∈[0，

π

2

]，∴2θ+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴m∈[0，

3

2

]．

點評：本題首先在理解集合描述法的基礎(chǔ)上，將集合的關(guān)系M∩N≠Φ化成集合M，N中元素的關(guān)系，再利用函數(shù)思想求出實數(shù)m的取值范圍，注意分清字母a，θ，m在問題中的作用．是道值得品味的好題．