Question

用[x]表示不超過x的最大整數，如[3.1]=3，[-3.4]=-4，[0]=0，設函數f（x）=[x]-x（x∈R），關于函數f（x）有如下四個命題：
①f（x）的值域為[0，1）
②f（x）是偶函數  
③f（x）是周期函數，最小正周期為1  
④f（x）是增函數．
其中正確命題的序號是：

③

．

Answer 1

分析：①可求出函數f（x）的取值范圍，即值域，可判斷①錯誤．
②利用偶函數的定義，可以判斷②錯誤．
③根據周期函數的定義，可驗證函數{x}是周期為1的函數，從而可判③正確．
④由③可知函數是周期函數，所以在定義域上函數不單調，所以可以判斷④錯誤．

解答：解：①函數{x}的定義域是R，但是-1＜[x]-x≤0，故函數{x}的值域為（-1，0]故①錯誤．
②因為f（-0.1）=[-0.1]-（-0.1）=-1+0.1=-0.9，而f（0.1）=[0.1]-0.1=0-0.1=-0.1，
所以f（-0.1）≠f（0.1），所以函數不是偶函數，所以②錯誤．
③因為f（x+1）=[x+1]-（x+1）=[x]+1-x-1=[x]-x=f（x），所以f（x）是周期函數，最小正周期為1，所以③正確．
④由③可知函數是周期函數，所以在定義域上函數不單調，所以④錯誤．
故答案為：③．

點評：本題主要考查函數的基本性質--定義域、值域、單調性、周期性．考查對基礎知識的掌握程度和靈活運用．