Question

如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別是AC,AB上的中點(diǎn),

點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn).將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置,使A₁F⊥CD,如圖2.

(1)求證:DE∥平面A₁CB;

(2)求證:A₁F⊥BE;

(3)線段A₁B上是否存在點(diǎn)Q,使A₁C⊥平面DEQ?說明理由.

 

Answer 1

 解:(1)因?yàn)镈,E分別為AC,AB的中點(diǎn),所以DE∥BC.又因?yàn)镈E平面A₁CB,所以DE∥平面A₁CB. ------3                                                                                                                                                                                                               分

 (2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以DE⊥A₁D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A₁DC.而A₁F 平面A₁DC,

_{所以DE⊥A1F.又因?yàn)锳1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE} ----------6分

                             

_{(3)線段A1B上存在點(diǎn)Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:如圖,}

_{分別取A1C,A1B的中點(diǎn)P,Q,則PQ∥BC.}

_{又因?yàn)镈E∥BC,所以DE∥PQ.所以平面DEQ即為平面DEP.} ----------9分

 

_{由(2)知DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.}

_{又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C 的中點(diǎn),}

_{所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,從而A1C⊥平面DEQ.}

_{故線段A1B上存在點(diǎn)Q,使得A1C⊥平面DEQ.} -------------12分