Question

某加油站需要制造一個(gè)容積為20πm³的圓柱形儲(chǔ)油罐，已知用來制作底面的鐵板每平方米價(jià)格為40元，用來制作側(cè)面的鐵板每平方米價(jià)格為32元，若不計(jì)制作損耗．
（Ⅰ）問儲(chǔ)油罐底面半徑和高各為多少時(shí)，制作的儲(chǔ)油罐的材料成本價(jià)最低？
（Ⅱ）若制作的儲(chǔ)油罐底面鐵板半徑不能超過1.8m，那么儲(chǔ)油罐底面半徑的長(zhǎng)為多少時(shí)，可使制作儲(chǔ)油罐的材料成本價(jià)最低？

Answer 1

解：（I）設(shè)圓柱形儲(chǔ)油罐的底面半徑為x米，高為h米，材料成本價(jià)為y元．
由題意得，．
∴y=2πx²•40+2πx•h•32…
==…
…=960π（元）．
當(dāng)且僅當(dāng)，即x=2，h=5時(shí)取等號(hào)．
答：當(dāng)儲(chǔ)油罐的底面半徑為2米，高為5米，材料成本價(jià)最低．…
（II）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)x=2時(shí)，y取最小值960π元，
當(dāng)x不超過1.8米時(shí)，即0＜x≤1.8．
下面探討函數(shù)在（0，1.8]上的單調(diào)性．…
設(shè)0＜x₁＜x₂≤1.8，

=…
∵0＜x₁＜x₂≤1.8＜2，
∴，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，f（x₂）＜f（x₁）．
則函數(shù)在（0，1.8]上是減函數(shù)．
答：當(dāng)儲(chǔ)油罐底面鐵板半徑為1.8米，材料成本價(jià)最低．…
分析：（Ⅰ）設(shè)圓柱形儲(chǔ)油罐的底面半徑為x米，高為h米，由題意求出h的表達(dá)式，再求出材料成本價(jià)為y的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式求出y的最小值，以及對(duì)應(yīng)的x的值；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）知，當(dāng)0＜x≤1.8時(shí)需要判斷函數(shù)在（0，1.8]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性的定義證明步驟：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論，得到函數(shù)的單調(diào)性，再求出函數(shù)的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，利用基本不等式求函數(shù)的最值，以及根據(jù)單調(diào)性的定義證明步驟：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論，得到函數(shù)的單調(diào)性，再求出函數(shù)的最小值．