Question

已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓C，它的中心在原點，左焦點為F（-

3

，0），右頂點為D（2，0），設(shè)點A（1，

1

2

）．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）設(shè)O為坐標原點，過點F（

3

，0）的直線l與曲線C交于A，B兩點，N為AB的中點，連結(jié)ON 并延長交曲線C于點E，且

OE

=2

ON

，求|AB|的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題意，a=2，c=

3

，∴b=1，橢圓的焦點在x軸上，即可求出橢圓的標準方程；
（Ⅱ）利用代入法，求線段PA中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），點N的坐標為（x₀，y₀），設(shè)直線l的方程代入橢圓方程，由此利用韋達定理結(jié)合已知條件能求出直線l的方程，即可求|AB|的值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，a=2，c=

3

，∴b=1，
∵橢圓的焦點在x軸上，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）點M（x，y），點P（x′，y′），由題意可知

x= x′+1 2 y= y′+ 1 2 2

，
∴

x′=2x-1 y′=2y- 1 2

，
又∵P是橢圓上的動點，
∴點M的軌跡C的方程為(x-

1

2

)2+4(y-

1

4

)2=1；
（Ⅲ）設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），點N的坐標為（x₀，y₀），
①當(dāng)直線l與x軸重合時，線段AB的中點N就是原點O，不合題意，舍去； 
②設(shè)直線l：x=my+

3

，代入橢圓方程消去x，得（m²+4）y²+2

3

my-1=0
∴y₀=-

3 m

m2+4

，
∴x₀=my₀+

3

=

4 3

m2+4

，
∴點N的坐標為（

4 3

m2+4

，-

3 m

m2+4

），
由

OE

=2

ON

，則點E的為（

8 3

m2+4

，-

2 3 m

m2+4

），
由點E在曲線C上，得

48

(m2+4)2

+

12m2

(m2+4)2

=1，
即m⁴-4m²-32=0，∴m²=8（m²=-4舍去）．
∴|AB|=

1+m2

•

(- 2 3 m m2+4 )2+ 4 m2+4

=3．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查代入法的運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．