Question

已知函數(shù)f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，其中t∈R．
（1）當t=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）當t≠0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（1）當t=1時，求出函數(shù)f（x），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=0處的切線的斜率，利用點斜式求出切線方程；
（2）根據(jù)f'（0）=0，解得x=-t或x=，討論t的正負，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出單調(diào)區(qū)間即可．
解答：解：（1））當t=1時，f（x）=4x³+3x²-6x，f（0）=0，f'（x）=12x²+6x-6（2分）f'（0）=-6．所以曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=-6x．（4分）
（2）解：f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f'（x）=0，解得x=-t或．（5分）
因為t≠0，以下分兩種情況討論：
（i）若t＜0，則t＜0，則，當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x			（-t，+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）	↑	↓	↑

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是．   （8分）
（ii）若，當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，t）
f'（x）	+	-	+
f（x）	↑	↓	↑

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是．（12分）
點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)零點、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查了計算能力和分類討論的思想．