Question

(本小題滿分14分)

已知函數(shù)，，.

（Ⅰ）若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，求的值及該切線的方程；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù),當存在最小值時，求其最小值的解析式；

（Ⅲ）對（Ⅱ）中的，證明：當時， .

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）a=切線的方程為

（Ⅱ）

（Ⅲ）證明見解析

【解析】本題主要考查導數(shù)與切線的關(guān)系，及導數(shù)在求函數(shù)最值，單調(diào)性等方面的應用，需要考生熟悉求導公式，并有足夠的耐心去分類討論，是一道考查綜合素質(zhì)的難題．

（Ⅰ）=,=(x>0),

由已知得  解得a=，x=e²,

∴ 兩條曲線交點的坐標為（e²,e）   切線的斜率為

∴ 切線的方程為

（Ⅱ）由條件知

   ∴

（i）當a>0時，令解得，

∴    當0 << 時，，在（0，）上遞減；

當x>時，，在上遞增.

∴    是在上的唯一極值點，且是極小值點，從而也是的最小值點.

∴    最小值

（ii）當時，在（0，+∞）上遞增，無最小值。

   故的最小值的解析式為

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

則，令解得.

當時，，∴在上遞增；

當時，，∴在上遞減.

∴在處取得最大值

∵在上有且只有一個極值點，所以也是的最大值.

∴當時，總有

點評：本題題目條件給的比較清晰，直接．只要抓住概念就可以很好的解決第一問，后兩問主要難在需要細心并且有耐心的去分類討論，運算，方法并不難，所以考試時做這一類題時力爭拿到第一步分，后面的盡量爭�。�