Question

已知二次函數(shù)f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1，若在[-1，1]上存在x使得f（x）＞0，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  3

  2

  ，-

  1

  2

  ]∪[1，3]
• B、[1，3]
• C、[-

  1

  2

  ，3]
• D、（-3，

  3

  2

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將條件[-1，1]內(nèi)存在存在x使得f（x）＞0的否定為對(duì)于區(qū)間[-1，1]內(nèi)的任意一個(gè)x都有f（x）≤0，即f（-1），f（1）均小于等0，由此可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于p的不等式組，解不等式組即可求出實(shí)數(shù)p的取值范圍．

解答： 解：二次函數(shù)f（x）在[-1，1]上存在x使得f（x）＞0的否定是：
對(duì)于區(qū)間[-1，1]內(nèi)的任意一個(gè)x都有f（x）≤0，
∴

f(1)≤0 f(-1)≤0

，即

4-2(p-2)-2p2-p+1≤0 4+2(p-2)-2p2-p+1≤0

，
整理得

2p2+3p-9≥0 2p2-p-1≥0

，即

(p+3)(2p-3)≥0 (p-1)(2p+1)≥0

，
則

p≥ 3 2 或p≤-3 p≥1或p≤- 1 2

，
解得p≥

3

2

，或p≤-3，
∴二次函數(shù)在[-1，1]上存在x使得f（x）＞0的實(shí)數(shù)p的取值范圍是-3＜p＜

3

2

，
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為求條件的否定是解答本題的關(guān)鍵．