Question

5．已知x＞0，y≥0，x+2y=1，求函數w=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2xy+y²+1）的最小值．

Answer 1

分析 根據已知中x≥0，y≥0且x+2y=2，利用代入消元法，可將函數g=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2xy+y²+1）的真數部分化為-3y²+2y+1，0≤y$＜\frac{1}{2}$，結合二次函數的圖象和性質，分析真數部分的最值，進而結合對數函數的單調性，可得答案

解答 解：∵x＞0，y≥0且x+2y=1，
∴x=1-2y，（0＜y≤$\frac{1}{2}$）
令t=2xy+y²+1=-3y²+2y+1，0≤y$＜\frac{1}{2}$，
則當y=$\frac{1}{3}$時，t取最大值$\frac{4}{3}$，此時W=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2xy+y²+1）的最小值為-log₂$\frac{4}{3}$

點評 本題考查的知識點是對數函數的圖象與性質，二次函數的圖象和性質，其中熟練掌握二次函數的圖象和性質及對數函數的圖象和性質是解答的關鍵