Question

已知函數(shù)是偶函數(shù)，g（x）=t•2^x+4，
（1）求a的值；
（2）當(dāng)t=-2時(shí)，求f（x）＜g（x）的解集；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的圖象上方，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f（x）是偶函數(shù)，得f（x）=f（-x），即，
化簡得2^2ax=4^x，故a=1；
（2）f（x）＜g（x）即，亦即3•4^x-4•2^x+1＜0，
所以，即，
所以不等式f（x）＜g（x）的解集為；
（3）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象總在g（x）的圖象上方，
所以f（x）＞g（x），即，得，
∵，∴t＜-3；
故實(shí)數(shù)t的取值范圍為：t＜-3．
分析：（1）由偶函數(shù)的定義知f（x）=f（-x），化簡即可求得a值；
（2）對f（x）＜g（x）進(jìn)行等價(jià)變形可化為關(guān)于2^x的二次不等式，解得2^x的范圍，進(jìn)而可得x的范圍；
（3）函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的圖象上方，等價(jià)于f（x）＞g（x）恒成立，分離出t后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值解決；
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查指數(shù)不等式的求解及函數(shù)恒成立問題，函數(shù)恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．