Question

（1）如圖1，已知定點(diǎn)F₁（-2，0）、F₂（2，0），動(dòng)點(diǎn)N滿足|

ON

|=1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），

F1M

=2

NM

，

MP

=λ

MF2

（λ∈R），

F1M

•

PN

=0，求點(diǎn)P的軌跡方程．

（2）如圖2，已知橢圓C：

x2

4

+y²=1的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓上，且異于點(diǎn)A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點(diǎn)M、N，
（�。┰O(shè)直線AP、BP的斜率分別為k₁、k₂，求證：k₁•k₂為定值；
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線的定義可知：點(diǎn)P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的雙曲線，從而可得點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）（ⅰ）由橢圓方程求出兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線AP、BP的斜率k₁，k₂，結(jié)合P的坐標(biāo)適合橢圓方程可證結(jié)論；
（ⅱ）設(shè)出以MN為直徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，由

QM

•

QN

=0列式得到圓的方程，化為圓系方程后聯(lián)立方程組可求解圓所過定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）連接ON，
∵

F1M

=2

NM

，∴點(diǎn)N是MF₁中點(diǎn)，∴|MF₂|=2|NO|=2
∵

F1M

•

PN

=0，∴F₁M⊥PN，∴|PM|=|PF₁|
∴||PF₁|-|PF₂||=||PM|-|PF₂||=|MF₂|=2＜|F₁F₂|
由雙曲線的定義可知：點(diǎn)P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的雙曲線．
∴點(diǎn)P的軌跡方程是x2-

y2

3

=1； 
（2）（�。┝頟（x₀，y₀），則由題設(shè)可知x₀≠0，
∵A（0，1），B（0，-1），
∴直線AP的斜率k₁=

y0-1

x0

，PB的斜率k2=

y0+1

x0

，
又點(diǎn)P在橢圓上，∴

x02

4

+y02=1，
從而有k1k2=

y0-1

x0

•

y0+1

x0

=

y02-1

x02

=-

1

4

；
（ⅱ）設(shè)Q（x，y）是以MN為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則

QM

•

QN

=0，
∴有（x+

1

k1

）•（x+

1

k2

）+（y+2）（y+2）=0
又k₁•k₂=-

1

4

，
∴MN為直徑圓的方程為x2+(y+2)2-12+(

3

k1

-4k1)x=0．
令

x=0 x2+(y+2)2-12=0

，解得

x=0 y=-2±2 3

，
∴以MN為直徑的圓恒過定點(diǎn)（0，-2+

3

）或（0，-2-2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的斜率，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查代入法，考查了圓系方程，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是有一定難度題目．