Question

7．從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入x_i（單位：千元）與月儲(chǔ)蓄y_i（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得$\sum_{i=1}^{10}{x_i}=80$，$\sum_{i=1}^{10}{y_i}=20$，$\sum_{i=1}^{10}{{x_i}{y_i}}=184$，$\sum_{i=1}^{10}{x_i^2}=720$．
（Ⅰ）求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；
（Ⅲ）若該居民區(qū)某家庭月收入為12千元，預(yù)測該家庭的月儲(chǔ)蓄．
附：線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$中，$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}y{\;}_i^{\;}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．其中$\overline x$，$\overline y$為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)$\stackrel{∧}$、$\stackrel{∧}{a}$，寫出回歸方程；
（Ⅱ）由回歸系數(shù)$\stackrel{∧}$＞0，判斷是正相關(guān)；
（Ⅲ）計(jì)算x=12時(shí)$\stackrel{∧}{y}$的值，即可預(yù)測該家庭的月儲(chǔ)蓄．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，n=10，$\overline{x}$=$\frac{1}{10}$×80=8，$\overline{y}$=$\frac{1}{10}$×20=2，
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{184-10×8×2}{720-10{×8}^{2}}$=0.3，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=2-0.3×8=-0.4，
∴回歸方程為$\stackrel{∧}{y}$=0.3x-0.4；…（4分）
（Ⅱ）由于回歸系數(shù)$\stackrel{∧}$=0.3＞0，
∴變量y與x之間是正相關(guān)；…（6分）
（Ⅲ））x=12時(shí)，$\stackrel{∧}{y}$=0.3×12-0.4=3.2（千元），
即某家庭月收入為12千元時(shí)，預(yù)測該家庭的月儲(chǔ)蓄是3.2千元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程的求解及應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．