Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=pⁿ+q（p≠0且p≠1），求證q=-1是數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列的充要條件．

Answer 1

分析：先求出a₁的值，再由n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）•p^n-1進(jìn)而可判定n≥2時(shí)，{a_n}是等比數(shù)列，最后再驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)q=-1時(shí)可滿足，{a_n}是等比數(shù)列，從而{a_n}是等比數(shù)列的必要條件是p≠0且p≠1且q=-1；當(dāng)p≠0且p≠1且q=-1時(shí)，根據(jù)S_n=pⁿ-1可求出a_n=（p-1）•p^n-1，進(jìn)而得到

an

an-1

=p即{a_n}是等比數(shù)列，即可知q=-1是{a_n}是等比數(shù)列的充分條件．

解答：證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=p+q；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）•p^n-1．
由于p≠0，p≠1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，{a_n}是等比數(shù)列．要使{a_n}（n∈N^*）是等比數(shù)列，
則

a2

a1

=p，即（p-1）•p=p（p+q），
∴q=-1，即{a_n}是等比數(shù)列的必要條件是p≠0且p≠1且q=-1．
再證充分性：
當(dāng)p≠0且p≠1且q=-1時(shí)，S_n=pⁿ-1，
a_n=（p-1）•p^n-1，

an

an-1

=p（n≥2），
∴{a_n}是等比數(shù)列．

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的充要條件，考查基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．